Question

可能有人给我一个例子，我们如何使用组，monoids 和环等代数结构来提高代码的可重用性？（或者我如何在编程中使用这些结构，至少知道我没有在高中学习所有的理论）。

我听说这是可能的，但我不知道如何在编程中应用它们，并在编程中普遍应用硬核数学。

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Answer 1

这并不是真正的数学东西，而是数学思维。抽象是编程的关键。将真实的实时概念转换为数字和关系是我们每天都在做的事情。代数是所有事物的母亲，代数是定义正确性的规则集，它是最高水平的抽象，因此，理解代数意味着您可以思考更清晰，更快，更有效的东西，例如从集合理论到类别理论，领域理论的发展，您都需要实践。

Answer 2

在函数式编程中，尤其是在 Haskell 中，将状态转换为 monad 的结构程序很常见。这样做意味着您可以在非常不同的程序中重用 monad 上的通用算法。

C++ 标准模板库以 amonoid的概念为特色。这个想法是，泛型算法可能需要一个操作来满足其正确性的类元公理。

例如，如果我们可以证明我们正在操作的类型T（数字，字符串，无论什么）在操作下是封闭的，我们知道我们不必检查某些错误;我们总是得到一个有效的T回来。

Answer 3

如今，计算机科学似乎从category theory中获得了很多好处。您会得到 monad，monoids，functor-整个数学实体，这些数学实体被用来提高代码的可重用性，利用抽象数学的抽象。

Answer 4

列表是具有一个生成器的自由 monoids，二叉树是组。您有有限或无限变体。

起点:

你可能想学习范畴理论，以及范畴理论处理代数结构的方式：这正是函数式编程语言处理数据结构的方式，至少是 shapewise。

示例：类型树 A 为

Tree A = () | Tree A | Tree A * Tree A

读作同构的存在（*）（我设置G = Tree A）

1 + G + G x G -> G

这与组结构相同

phi : 1 + G + G x G -> G
() € 1         -> e
x € G          -> x^(-1)
(x, y) € G x G -> x * y

实际上，二叉树可以表示表达式，并且它们形成代数结构。G 的元素读取为身份，元素的逆或两个元素的乘积。二叉树是叶子，单棵树或一对树。请注意形状上的相似性。

（*）以及一个通用属性，但它们是其中的两个（有限树或无限懒惰树），所以我不会详细介绍。

程序设计基础教材:代数结构与程序设计(algebraic structure)