Question

如何在 Python 中数值求解 ODE？

考虑

equation to solve

\ddot{u}(\phi) = -u + \sqrt{u}

具有以下条件

u(0) = 1.49907

和

\dot{u}(0) = 0

有了约束

0 <= \phi <= 7\pi.

最后，我想产生一个参数图，其中 x 和 y 坐标作为 u 的函数生成。

问题是，我需要运行 odeint 两次，因为这是一个二阶微分方程。我试图让它在第一次之后再次运行，但它返回一个雅可比错误。必须有一种方法一次运行两次。

这里是错误：

odepack.error：函数及其 Jacobian 必须是可调用函数

下面的代码生成。有问题的行是 sol = odeint。

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import linspace
def f(u, t):
    return -u + np.sqrt(u)
times = linspace(0.0001, 7 * np.pi, 1000)
y0 = 1.49907
yprime0 = 0
yvals = odeint(f, yprime0, times)
sol = odeint(yvals, y0, times)
x = 1 / sol * np.cos(times)
y = 1 / sol * np.sin(times)
plot(x,y)
plt.show()

Edit

我正在尝试构建第 9 页的情节

Classical Mechanics Taylor

这是 Mathematica 的情节

mathematica plot

In[27]:= sol = 
 NDSolve[{y''[t] == -y[t] + Sqrt[y[t]], y[0] == 1/.66707928, 
   y'[0] == 0}, y, {t, 0, 10*\[Pi]}];
In[28]:= ysol = y[t] /. sol[[1]];
In[30]:= ParametricPlot[{1/ysol*Cos[t], 1/ysol*Sin[t]}, {t, 0, 
  7 \[Pi]}, PlotRange -> {{-2, 2}, {-2.5, 2.5}}]

27

4

3

2

Answer 1

import scipy.integrate as integrate
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
pi = np.pi
sqrt = np.sqrt
cos = np.cos
sin = np.sin
def deriv_z(z, phi):
    u, udot = z
    return [udot, -u + sqrt(u)]
phi = np.linspace(0, 7.0*pi, 2000)
zinit = [1.49907, 0]
z = integrate.odeint(deriv_z, zinit, phi)
u, udot = z.T
# plt.plot(phi, u)
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(1/u*cos(phi), 1/u*sin(phi))
ax.set_aspect('equal')
plt.grid(True)
plt.show()

enter image description here

Answer 2

您的其他question的代码非常接近您想要的。需要进行两个更改：

你正在解决一个不同的 ODE（因为你改变了函数deriv中的两个符号）

所需绘图的y组件来自解值，而不是来自解的一阶导数的值，因此您需要将u[:,0]（函数值）替换为u[:, 1]（导数）。

这是最终结果：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint
def deriv(u, t):
    return np.array([u[1], -u[0] + np.sqrt(u[0])])
time = np.arange(0.01, 7 * np.pi, 0.0001)
uinit = np.array([1.49907, 0])
u = odeint(deriv, uinit, time)
x = 1 / u[:, 0] * np.cos(time)
y = 1 / u[:, 0] * np.sin(time)
plt.plot(x, y)
plt.show()

但是，我建议您使用 unutbu 的答案中的代码，因为它是自记录（u, udot = z），并使用np.linspace而不是np.arange。

x = 1 / u * np.cos(phi)
y = 1 / u * np.sin(phi)
plt.plot(x, y)
plt.show()

Answer 3

您可以使用 scipy.integrate.ode。要解决 dy / dt = f（t，y），初始条件 y（t0）= y0，在时间 = t1 与四阶 Runge-Kutta 你可以做这样的事情：

from scipy.integrate import ode
solver = ode(f).set_integrator('dopri5')
solver.set_initial_value(y0, t0)
dt = 0.1
while t < t1:
    y = solver.integrate(t+dt)
    t += dt

编辑：你必须让你的导数一阶使用数值积分。这可以通过设置例如 z1 = u 和 z2 = du / dt 来实现，之后你有 dz1 / dt = z2 和 dz2 / dt = d ^ 2u / dt ^ 2。将这些代入你的原始方程，并简单地迭代向量 dZ / dt，这是一阶。

编辑 2：这是整个事情的示例代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import sqrt, pi, sin, cos
from scipy.integrate import ode
# use z = [z1, z2] = [u, u']
# and then f = z' = [u', u''] = [z2, -z1+sqrt(z1)]
def f(phi, z):
    return [z[1], -z[0]+sqrt(z[0])]
# initialize the 4th order Runge-Kutta solver
solver = ode(f).set_integrator('dopri5')
# initial value
z0 = [1.49907, 0.]
solver.set_initial_value(z0)
values = 1000
phi = np.linspace(0.0001, 7.*pi, values)
u = np.zeros(values)
for ii in range(values):
    u[ii] = solver.integrate(phi[ii])[0] #z[0]=u
x = 1. / u * cos(phi)
y = 1. / u * sin(phi)
plt.figure()
plt.plot(x,y)
plt.grid()
plt.show()