Hugin n:log (n!)= Θ (n· log(n))

我将展示log (n!) = Θ (n· log (n))

给出了一个日志,即我应该用nn表示上界,并用(n/ 2)(n/ 2)表示下界。

解决这个问题的正确方法是什么?我应该画递归树吗?没有什么递归的,所以这似乎不是一个可能的方法。

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记住

log(n!) = log(1) + log(2) + ... + log(n-1) + log(n)

你可以得到上限

log(1) + log(2) + ... + log(n) <= log(n) + log(n) + ... + log(n)
                                = n*log(n)

你可以通过在扔掉前半部分后做类似的事情来获得下限:

log(1) + ... + log(n/2) + ... + log(n) >= log(n/2) + ... + log(n) 
                                       = log(n/2) + log(n/2+1) + ... + log(n-1) + log(n)
                                       >= log(n/2) + ... + log(n/2)
                                        = n/2 * log(n/2) 
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我意识到这是一个非常古老的问题,有一个公认的答案,但这些答案实际上都没有使用提示建议的方法。

这是一个非常简单的论点:

n!(= 1 * 2 * 3 *...* n) 是n数小于或等于n的乘积,因此小于n数的乘积,即n^n

n!乘积中的一半数字-即n/2大于或等于n/2。因此,它们的乘积大于n/2数字的乘积,所有这些数字都等于n/2;即(n/2)^(n/2)

记录整个日志以确定结果。

28

enter image description here

对不起,我不知道如何在 stackoverflow 上使用 LaTeX 语法。

14
SeeStirling's Approximation:

ln (n!) = n * ln (n)-n + O (ln (n))

其中最后 2 项的重要性低于第一项。

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